Физика Владимира Ефремова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование кватернионных пространств и их взаимосвязи с системами отсчета и физическими полями»

Создание алгебры кватернионных чисел заслуженно связывается с именем Уильяма Роуэна Гамильтона, который в 1843 г. окончательно сформулировал правило умножения четырех базисных единиц алгебры1. Известно, однако, что некоторые соотношения кватернионной алгебры рассматривались еще в XVIII веке Л.Эйлером и К.Гауссом , , а в 1840 г. О.Родригес, исследуя кинематику твердого тела, записал выражение, сходное с правилом умножения кватернионов , . Во всех случаях эти ученые приходили к кватернионным соотношениям, основываясь на модельных структурах механики и трехмерной геометрии.

У.Гамильтон был, видимо, первым, кто поставил перед собой задачу построения именно математической структуры — столь же самосогласованной и завершенной, как и алгебра комплексных чисел, но — не на двумерной поверхности, а в некотором пространстве. Как известно, эта задача была успешно решена, но результат вышел весьма неожиданным. Умножение чисел новой алгебры оказалось некоммутативным, ее базисные единицы были связаны между собой серией нелинейных соотношений. Более того, число единиц оказалось равным четырем, то есть размерность искомого пространства на единицу превысила размерность привычного по опыту физического пространства конфигураций. Наконец, возникла дилемма определения кватернионных коэффициентов: ими могли быть как действительные, так и комплексные числа, хотя последние, вообще говоря, алгебру несколько ухудшали (не всегда определялась норма числа, пропадала общность деления). Родившийся новый математический объект — кватернионная алгебра — вызвал большой энтузиазм и не меньшую озабоченность, прежде всего, у его автора. В главных работах У.Гамильтона , с очевидностью прослеживаются две цели:

— разобраться в геометрической (если угодно — в физической, в те времена — в механической) сущности кватернионов,

— передать читателям, ученикам представление (не исключено, что интуитивное) об их безусловной важности для последующего развития и эксплуатации точных наук.

1 Обзор истории создания и развития кватернионного исчисления приведен в работе .

Ни одна из этих целей автором, да и его учениками, достигнута не была, несмотря на то, что Гамильтон остаток своей жизни, по сути, посвятил изучению и пропаганде кватернионов. Объект оказался слишком сложным для своего времени. Несмотря на усилия последователей Гамильтона, в первую очередь, П.Г.Тэта и даже на тот факт, что именно на языке кватернионов Дж.Максвелл впервые записал свои уравнения электродинамики и понимал это исчисление как некую «универсальную арифметику» , в математике и физике весьма скоро возобладала более практичная, но иная в своей основе и несколько эклектичная векторная алгебра Д.Гиббса и О.Хэвисайда; кватернионное исчисление отодвинулось на второй план. Не слишком многого удалось достичь и в понимании геометрической сущности кватернионов, хотя то, что в этой математике лежит на поверхности, было замечено сразу: «специальные кватернионы» — «мнимые» кватернионные единицы — уже Гамильтоном однозначно связывались с триадой направляющих векторов декартовой системы координат. Собственно, это было и все. Даже ставшая довольно быстро знаменитой кватернионная методика расчета векторных поворотов явилась, всего лишь технологическим инструментом, действующим, скорее, загадочно (потому что так получается!), нежели детально проанализированным. Да и в дальнейшем кватернионы использовались более как математический аппарат, удобный (а иногда и искусственно подгоняемый) для решения математических и физических задач.

Анализ литературных источников создает впечатление, что исследование собственно математики кватернионов как таковой, в том числе ассоциированной геометрии, в конце XIX века, по существу, остановилось. Значимыми этапами этого периода явились работы К.Клиффорда (включившие изучение комплексных кватернионов, или бикватернионов; см., например, ), а также доказательство теорем Фробениуса-Гурвица (подробное изложение дано в работе ) об исключительности — в смысле «хорошего» определения действий над числами — алгебры кватернионных чисел и следующей по размерности алгебры октав. Дальнейшее исследование кватернионов не было отмечено сколь либо значимыми событиями, несмотря на то, что интерес к ним определенно сохранялся. В начале XX века в Европе даже было создано «Меж

2 Как и Эйнштейн — почти 40 лет после создания им теории относительности безуспешно пытался создать на ее базе единую теорию поля. дународное общество содействия изучению кватернионов». Оно просуществовало до начала первой мировой войны, после чего по известным причинам распалось. Последовавшее вскоре бурное развитие экспериментальной физики потребовало привлечения множества различных математических аппаратов для описания наблюдаемых явлений. Целенаправленная разработка методов описания распространения полей, квантовых и статистических явлений не способствовала углублению понимания «старого» и «неудобного» аппарата кватернионной алгебры. Даже Э.Картан, один из основоположников теории подвижного репера, оставил без внимания отмеченную еще Гамильтоном возможность использования триады «специальных кватернионов» в качестве пространственной составляющей системы отсчета. В начале XX века публикации, связанные с кватернионами, носят, в основном прикладной характер. Известны работы по теории винтов А.Котельникова и Э.Штуди ; рядом авторов была предложена эквивалентная кватернионная формулировка четырехмерной специальной теории относительности Эйнштейна-Минковского .

Существенный, с точки зрения понимания структуры кватернионов, шаг был сделан в 1927 году В.Паули. Для описания в уравнениях квантовой механики только что открытого спина электрона Паули использовал три ныне знаменитые матрицы, которые являются ни чем иным, как (с точностью до множителя) одним из представлений не-абелевых единиц, самым тесным образом связанных с базисом кватернионных векторов. Другой интересный результат, предваренный исследованиями К.Ланцоша , через несколько лет был получен Р.Фютером в процессе построения теории функций кватернионного переменного. Выяснилось, что записанные по аналогии с уравнениями Коши-Римана условия аналитичности векторной кватернионной функции, будучи записанными в стандартной векторной форме, имеют вид вакуумных уравнений электродинамики . В отличие от работ Паули и Фютера, в определенном смысле продолжающих линию развития кватернионной математики, авторы подавляющего большинства последующих публикаций, вплоть до последнего времени, либо по-прежнему используют аппарат кватернионной алгебры в сугубо прикладных целях (например, , ), либо привязывают специфику кватернионов к стереотипам, сложившимся в современной математической физике — . В то же время вряд ли можно с определенностью утверждать, что алгебраические и аналитические свойства самих кватернионов, сопутствующих им величин, а также ассоциированная геометрия на сегодняшний день уже изучены и описаны во всей полноте. Первая проблема связана с множественностью представлений базисных единиц алгебры. Практически не исследовались вопросы существования допустимых видов и классов представлений и тем более — внутренней струюуры «специальных кватернионов», оставалась в стороне тема инвариантности кватернионного умножения, а также величин, существенных для решения прикладных задач, — кватернионных и бикватернионных векторов. Для последних не были определены условия существования нормы. Наличие этих пробелов теории имело своим следствием тот факт, что, несмотря на обилие исследований, посвященных описанию систем отсчета в искривленных пространствах (см. например, — ), базисная кватернионная триада ранее не рассматривалась в качестве чрезвычайно удобного — недеформируемого — подвижного репера. Введение же такого репера, как выясняется, позволяет логически естественно придти к определению специфических несимметричных метрик и введению понятия кватернионных пространств. Стоит заметить, что некоторые аналоги таких пространств из чисто эмпирических соображений вводились, начиная с Эйнштейна , рядом авторов, исследовавших возможность построения обобщенных теорий гравитации и вариантов единой теории поля .

С другой стороны, в математической физике сложилась целая мозаика так называемых «кватернионных совпадений», начиная с упомянутой выше первой — кватернионной — записи уравнений Максвелла, и последовавшими за этим через многие десятилетия многочисленными фактами естественного появления кватернионов: в кван-тово-механических уравнениях Паули, в условиях аналитичности Фютера, в описании кинематики твердого тела. Здесь стоит подчеркнуть: именно «естественного появления»; то есть не намеренного использования аппарата кватернионного исчисления (может быть, в методических целях), но неизбежного возникновения математических соотношений, свойственных математике кватернионов. Наличие таких проявлений в, казалось бы, совсем разных областях физической теории заставляет задуматься о неслучайном характере этих проявлений и о существовании некой взаимосвязи между указанными областями. Тем более что практика многолетних исследований всего комплекса науки о кватернионах показала: список «совпадений» в действительности оказывается значительно шире. Нелишне заметить, что в последние годы интерес к кватернионам вновь существенно возрос. Этими гиперкомплексными числами сегодня занимаются не только отдельные ученые и исследователи — но и целые коллективы; вновь начали создаваться группы и сообщества по изучению кватернионов, издаются специализированные научные журналы, в сети интернет открываются страницы и сайты, посвященные этой тематике (см., например ). Прилив интереса к новым для сегодняшнего поколения (а, по сути, — забытым старым) математическим направлениям и методам, наверное, связан и с увеличением числа хорошо информированных специалистов в области математики, но не в последнюю очередь — и с очевидной приостановкой прогресса (если не с кризисом) в теоретической физике. В связи с вышесказанным данная работа, в которой, с одной стороны, приведен ряд оригинальных результатов исследования собственно кватернионной математики, прежде всего, геометрии, а с другой — предложен логически обоснованный вариант системного анализа взаимосвязи этой геометрии с различными направлениями математической физики, представляется весьма своевременной.

Работа состоит из двух основных частей и организована следующим образом. Первая часть носит чисто математический характер и содержит исследования алгебры и геометрии кватернионов и ассоциированных объектов.

Первая глава является математическим введением. В ней весьма кратко — для справки — изложены сведения об алгебраических и геометрических свойствах кватернионных чисел, основные математические соотношения приведены в традиционной записи.

Во второй главе детально исследуется множества представлений и правило умножения базисных единиц кватернионной алгебры (записанное в компактной тензорной форме), определяются группы преобразований «мнимых» единиц — «специальных кватернионов», оставляющие правило умножения форм-инваринтным. С помощью аппарата нормированных собственных функций устанавливается составная природа (наличие внутренней математической структуры) векторов базисной триады и формулируется правило проецирования произвольных матричных векторов на выбранное направление. Постулируется фундаментальная значимость тройных пар кватернионных собственных функций, и выписываются все составленные их них численные инварианты. Локализацией параметров триад кватернионных единиц, последние представляются в виде операторов-функций и приобретают характер жесткого (недефор-мируемого) репера. Задается правило дифференцирования такой триады, дается определение собственной кватернионной связности с геометрической и физической интерпретацией ее компонент. Приводятся конкретные примеры подвижных кватерни-онных реперов и демонстрируется бескоординатный матричный метод задания гладких пространственных кривых.

Третья глава посвящена кватернионным пространствам. В качестве предварительного шага формулируется процедура построения кватернионного пространства, касательного в любой точке к базе — дифференцируемому многообразию (или пространству) произвольной размерности. Затем вводится понятие собственно кватернионного трехмерного пространства, имеющего специфическую метрику, симметричная часть которой скалярна и в простейшем случае представлена метрикой Евклида, а антисимметричная часть является оператором (в простом представлении содержит бесследовую матрицу-вектор). Подробно обсуждается отличие кватернионного пространства от пространств с «абелевыми» метриками. Проводится стандартный анализ «внутренних» свойств и дифференциальных характеристик кватернионного пространства как пространства аффинной связности, а также «внешних», чисто кватер-нионных его свойств и характеристик, последнее — с использованием формализма дифференциальных форм и уравнений структуры. В процессе анализа определяется ряд дифференциальных характеристик различной природы (тензоры кривизны, тензоры кручения и неметричности); на этой базе предлагаются варианты классификации кватернионных пространств, начиная от самого общего, содержащего все величины до простейшего, не содержащего ни одного из дифференциальных геометрических объектов.

Вторая часть работы посвящена анализу естественного применения и возникновения кватернионов в различных разделах математической физики как проявления свойств кватернионных пространств, принадлежащих к различным типам введенных в первой части вариантов классификации.

В четвертой главе исследуются ньютоновские уравнения классической механики в кватернионных пространствах, представленных триадами реперов, параметризованных действительными функциями времени нерелятивистского наблюдателя. При этом показано, что свойство форм-инвариантности кватернионных векторов относительно группы действительных вращений логически естественно и математически компактно приводит к динамическому уравнению для тела в любой как угодно сложно вращающейся системе отсчета. Разработан удобный и наглядный метод решения таких уравнений — метод следящего базиса; он применен для решения ряда задач механики.

В пятой главе рассматриваются кватернионные пространства, представленные реперами с комплексными параметрами; исследуются условия форм-инвариантности возникающих при этом бикватернионых чисел. В пространствах такого типа формулируется особый математический аппарат (задание пространственно-временных биква-тернионных векторов специального вида), с помощью которого удается развить оригинальную методику моделирования и расчета релятивистских эффектов — «кватер-нионную теорию относительности». Математически и геометрически эта теория отлична от специальной теории относительности Эйнштейна, но она предсказывает все те же эффекты и, более того, позволяет решать релятивистские кинематические задачи в неинерциальных системах отсчета. Разработана схема решения таких задач с помощью уравнений смешанных (действительных и гиперболических) поворотов; с ее помощью представлен простой (в сравнении с методами СТО) вывод эффектов гиперболического движения и прецессии Томаса, а так же решен ряд новых кинематических задач. В частности, точно решена задача кинематики для релятивистского гармонического осциллятора и предсказан в принципе наблюдаемый эффект наблюдаемого с Земли релятивистского сдвига положения спутников планет Солнечной Системы. В рамках предложенной теории разработаны элементы динамики, записан вариант релятивистских уравнений задачи двух тел и даны решения ряда конкретных задач (движение заряженной частицы в магнитном поле и движение в поле центральной силы).

Шестая глава посвящена исследованию пространств, кватернионная специфика которых проявляется в виде физических взаимодействий. Так, в простейшем «евклидовом» кватернионном пространстве предложен простой вывод гамильтониана уравнения Паули, при этом показано, что именно кватернионная структура является ответственной за появление спина заряженной квантово-механической частицы, движущейся во внешнем магнитном поле. Проведен анализ уравнений космологических решений теории гравитации обобщенной на тот случай, когда трехмерным пространственным сечением четырехмерного пространства-времени являются кватернионные пространства различных типов: содержащие собственную кватернионную связность (и родственное кручение) и содержащие кватернионную неметричность. Найден ряд точных решений, описывающих стационарные сферически и цилиндрически симметричные модели. Установлено, что тензор кривизны четырехмерного пространства-времени (с кватернионным сечением и чисто кватернионной неметричностью) формально эквивалентен тензору напряженности поля Янга-Миллса. При этом кватернионная неметричность является потенциалом напряженности, а уравнения поля следуют из вариационной процедуры для действия, лагранжианом которого служит простейший квадратичный инвариант кривизны рассматриваемого пространства.

Завершая введение, стоит акцентировать внимание на том, что предлагаемая работа основана не на подгонке кватернионной математики к общепринятым теориям, а наоборот, — на естественном соответствии врожденных математических свойств кватернионов и целого ряда экспериментально наблюдаемых явлений геометрии и физики. Иначе говоря, автор полагает, что фундаментальная математика кватернионных чисел содержит в себе — и при надлежащем внимании позволяет извлечь — большое число математических моделей и соотношений, которые сегодня считаются независимыми физическими теориями. В этом смысле по духу (но, конечно, не по содержанию) данное исследование весьма близко работам тех авторов (см. работы Ю.Кулакова , Ю.Владимирова ), которые выстраивают системную логику «рождения теорий» на базисе фундаментальных соотношений, не зависящих от физического эксперимента. Представляется, что именно такая фундаментальная системность предоставит необходимый материал и инструменты, а главное — определит верные направления развития адекватной истине математической формулировки физических явлений.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *