Округление копеек в магазине

Округление в бухгалтерском учете

Учет имущества, обязательств и каждой хозяйственной операции по общему правилу ведется в рублях и копейках. Можно вести учет в суммах, округленных до целых рублей <1>.

Если учет ведется в целых рублях, то организации это следует закрепить в учетной политике <2>.

Ситуация Расчет Особенности
округления
Оценка активов и
обязательств,
стоимость которых
выражена в
иностранной валюте
Сумма в рублях
определяется как
произведение стоимости в
иностранной валюте и
стоимости рубля по курсу
ЦБ РФ (в формате до
четырех десятичных
знаков (XX,XXXX)),
действующему на дату
отражения операции в
учете <3>
Полученная сумма
округляется до
рублей и копеек
Оценка активов и
обязательств,
стоимость которых
выражена в условных
денежных единицах
Сумма в рублях
определяется как
произведение стоимости
в условных единицах и
курса условной единицы,
зафиксированного в
договоре
Полученная сумма
округляется до
рублей и копеек
Определение доли
(процента) какого-
либо показателя в
общей сумме
показателей.
Используется для
расчета сумм
распределяемых
затрат, доходов,
расходов (например,
начисленной
амортизации,
заработной платы,
списываемых
общехозяйственных
затрат, доходов
будущих периодов и
т.п.)
Доля (процент)
определяется отнесением
(и умножением на 100)
показателя к общей сумме
показателей
Можно округлять до
целых единиц,
закрепив это в
учетной политике
<4>
Заполнение
показателей форм
бухгалтерской
отчетности
Показатели приводятся в
тысячах рублей без
десятичных знаков.
Организации с
существенными оборотами
могут указывать данные
в миллионах рублей без
десятичных знаков <5>
Показатели
округляются до
тысяч или миллионов
рублей.
Например:
999 руб. ~
1 тыс. руб.;
500 руб. ~
1 тыс. руб.;
499 руб. ~
0 тыс. руб.;
990 тыс. руб. ~
1 млн руб.

<1> Пункт 25 Положения по ведению бухгалтерского учета и бухгалтерской отчетности в Российской Федерации, утв. Приказом Минфина России от 29.07.1998 N 34н.
<2> Пункт 5 ПБУ 1/98, утв. Приказом Минфина России от 09.12.1998 N 60н.
<3> Пункты 4 — 6 ПБУ 3/2000, утв. Приказом Минфина России от 10.01.2000 N 2н; Положение об установлении и опубликовании Центральным Банком Российской Федерации официальных курсов иностранных валют по отношению к рублю, утв. ЦБ РФ 18.04.2006 N 286-П.
<4> Пункт 88 Методических указаний, утв. Приказом Минфина России от 28.12.2001 N 119н; п. 5 ПБУ 1/98, утв. Приказом Минфина России от 09.12.1998 N 60н.
<5> Пункт 7 Указаний о порядке составления и представления бухгалтерской отчетности, утв. Приказом Минфина России от 22.07.2003 N 67н.

Округление в налоговом учете и отчетности

Налоговая отчетность (расчеты и декларации) в общем случае заполняется в целых рублях (без копеек). Исключение составляет отчетность, в которой отдельные показатели заполняются в рублях и копейках.

Налог Ситуация Расчет Особенности
округления
1 2 3 4
Транспортный
налог
Пересчет мощности
двигателя из кВт в
лошадиные силы <8>
(если в технической
документации
мощность двигателя
указана в кВт)
Мощность в кВт
(указанная в ПТС или в
свидетельстве о
регистрации
транспортного средства)
умножается на
коэффициент 1,35962 <9>
Результат
округляется до
второго знака после
запятой
В течение
налогового
(отчетного) периода
производилась
регистрация
транспортного
средства или снятие
его с учета. Налог
в таком случае
рассчитывается с
учетом
корректирующего
коэффициента
Коэффициент определяется
как отношение числа
полных месяцев, в
течение которых
транспортное средство
было зарегистрировано на
налогоплательщика, к
числу календарных
месяцев в налоговом
(отчетном) периоде <10>
<*>
Значение
коэффициента
округляется до
второго знака после
запятой <11>
Налог на
прибыль
Расчет
среднесписочной
численности
работников
организациями,
имеющими
обособленные
подразделения <12>
Среднесписочная
численность работников
за отчетный (налоговый)
период исчисляется путем
суммирования списочной
численности работников
за каждый календарный
день периода, включая
праздничные (нерабочие)
и выходные дни, и
деления полученной суммы
на число календарных
дней периода <13>
Округляется до
целых единиц <14>
Налог на
добычу
полезных
ископаемых
При валютных
соглашениях о
разделе продукции
производится расчет
коэффициента,
характеризующего
динамику мировых
цен на нефть, — Кц
Кц ежемесячно
рассчитывается по
формуле:
Кц = (Ц — 8) x Р / 252,
где Ц — средний за
налоговый период уровень
цен сырой нефти марки
«Юралс» в долларах США
за один баррель; Р —
среднее значение за
налоговый период курса
доллара США к рублю РФ,
устанавливаемого ЦБ РФ
<16>
Кц округляется до
четвертого знака
после запятой <15>.
В отношении нефти и
газового конденсата
Кц ежемесячно
сообщается в
информационном
письме ФНС России
Налог при
УСНО
Расчет доли
стоимости
приобретенного
(сооруженного,
изготовленного,
созданного самим
налогоплательщиком)
объекта основных
средств или
нематериальных
активов до перехода
на УСНО,
принимаемой в
расходы в каждом
квартале отчетного
(налогового)
периода <17>
Величина определяется
как 1/4 часть доли
стоимости объекта ОС или
НМА, принимаемой в
расходы за налоговый
период <18>
Округляется до
второго знака после
запятой <18>
ЕНВД Определение площади
торгового зала
Площадь принимается в
расчет в соответствии с
инвентаризационными и
правоустанавливающими
документами на помещение
(свидетельством о праве
собственности, договором
аренды и пр.) <19>
При расчете налога
площадь торгового
зала до целых чисел
не округляется <20>
<**>. В налоговой
декларации по ЕНВД
показатель площади
торгового зала
следует указывать в
целых единицах <21>
Определение площади
зала обслуживания
посетителей
При расчете налога
площадь зала
обслуживания
посетителей
округлять до целых
чисел не нужно. В
налоговой
декларации по ЕНВД
показатель площади
зала обслуживания
посетителей следует
указывать в целых
единицах <21>
Расчет
корректирующего
коэффициента
базовой доходности
К2
К2 учитывает, в
частности, фактическое
время ведения
предпринимательской
деятельности (о расчете
ЕНВД в случае, если
налогоплательщик
работает не каждый день,
см. журнал «Главная
книга», 2006, N 11,
с. 10)
Значение
корректирующего
коэффициента К2
округляется до
третьего знака
после запятой <22>
ЕСН и
обязательное
пенсионное
страхование
Отражение сумм
начисленных выплат
и иных
вознаграждений,
сумм начисленного
ЕСН, страховых
взносов на
обязательное
пенсионное
страхование
(налогового вычета)
в индивидуальных и
сводных карточках
Показатели рекомендуется
отражать в рублях и
копейках <23>
Осуществление
первичного учета
показателей для
целей исчисления
налога по каждому
физическому лицу в
целых рублях (без
округления) не
противоречит
налоговому
законодательству
<24>
Заполнение расчета
авансовых платежей
по ЕСН для лиц,
производящих
выплаты физическим
лицам <25>
Документы заполняются на
основании данных
индивидуальных и сводных
карточек <26>
Все значения
отражаются в рублях
без копеек <27>
Заполнение
налоговой
декларации по ЕСН
<28>
Также на основании
карточек
Все значения
отражаются в рублях
без копеек <29>
Отражение
показателей в
формах отчетности в
Фонд социального
страхования РФ
(форма-4 ФСС РФ
<30>, форма-4а ФСС
РФ <31>, форма
6-ФСС РФ <32>)
Начиная с отчетности за
полугодие 2006 г. формы
заполняются в рублях и
копейках <33>
Показатели не
округляются
НДФЛ Учет доходов
физических лиц и
налога на доходы в
налоговых карточках
(форма N 1-НДФЛ), в
справках о доходах
(форма N 2-НДФЛ)
<34>
Доходы и вычеты
отражаются в рублях и
копейках
Суммы налога
округляются до
полных рублей <36>
Отражение
показателей в
налоговой
декларации по НДФЛ
(форма N 3-НДФЛ)
<35>
Земельный
налог
Отражение значений
коэффициентов К1 и
К2 в налоговом
расчете по
авансовым платежам
по земельному
налогу <37> (строки
180 и 220) и в
налоговой
декларации по
земельному налогу
<38> (строки 200 и
240)
К1 определяется как
отношение числа полных
месяцев, в течение
которых отсутствует
налоговая льгота, к
числу календарных
месяцев в отчетном
периоде. Месяц
возникновения права на
налоговую льготу, а
также месяц прекращения
указанного права
принимаются за полный
месяц. К2 определяется
как отношение числа
полных месяцев, в
течение которых данный
земельный участок
находился в
собственности
(пользовании,
владении)
налогоплательщика, к
числу календарных
месяцев в отчетном
периоде <39>
Указываются в виде
десятичных дробей с
округлением до
второго знака после
запятой <40>

<*> Месяц регистрации транспортного средства, а также месяц снятия его с регистрации принимаются за полный месяц. В случае регистрации и снятия с регистрации транспортного средства в течение одного календарного месяца указанный месяц принимается как один полный месяц <41>.
<**> По мнению налоговиков, физический показатель «площадь торгового зала» следует округлять до целых чисел и рассчитывать налог с учетом площади торгового зала, полученной в результате округления. Округление в большую сторону приводит к излишне начисленным суммам налога, с чем были не согласны налогоплательщики. По мнению судов, округление в данном случае противоречит НК РФ и приводит к изменению обязанности налогоплательщика по уплате налога.

Следует отметить, что в случае, если неправильное округление приведет по истечении налогового периода к неполной уплате суммы налога, налогоплательщику может грозить штраф в размере 20% от неуплаченных сумм налога <42> и пени. Кроме того, если неверное округление показателей приведет к искажению сумм начисленных налогов и сборов не менее чем на 10% или же к искажению любой статьи (строки) формы бухгалтерской отчетности не менее чем на 10%, это может повлечь наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от 2000 до 3000 руб. <43>.

<8> Статья 359 НК РФ.
<9> Пункт 19 Методических рекомендаций по применению главы 28 «Транспортный налог», утв. Приказом МНС России от 09.04.2003 N БГ-3-21/177.
<10> Пункт 3 ст. 362 НК РФ.
<11> Подпункт 9 п. 14 Рекомендаций по заполнению формы налогового расчета по авансовым платежам, утв. Приказом Минфина России от 23.03.2006 N 48н; пп. 9 п. 17 Порядка заполнения формы налоговой декларации, утв. Приказом Минфина России от 13.04.2006 N 65н.
<12> Статья 288 НК РФ.
<13> Пункт 8 Порядка заполнения и представления формы федерального государственного статистического наблюдения N 1-Т, утв. Постановлением Росстата от 27.10.2005 N 73.
<14> Пункт 11.4 Порядка, утв. Постановлением Росстата от 27.10.2005 N 73.
<15> Статья 5 Федерального закона от 08.08.2001 N 126-ФЗ.
<16> Пункт 5 ст. 346.37 НК РФ.
<17> Подпункт 3 п. 3 ст. 346.16 НК РФ.
<18> Пункт 3.15 Порядка заполнения Книги учета доходов и расходов, утв. Приказом Минфина России от 30.12.2005 N 167н.
<19> Статья 346.27 НК РФ.
<20> Постановления ФАС Волго-Вятского округа от 17.04.2006 N А11-15845/2005-К2-26/508, от 12.04.2006 N А11-15651/2005-К2-28/319; ФАС Западно-Сибирского округа от 13.04.2006 N Ф04-1416/2006(21545-А45-7), N А45-10398/05-43/311; ФАС Северо-Западного округа от 13.01.2006 N А05-9813/2005-9.
<21> Раздел I Инструкции, утв. Приказом Минфина России от 01.11.2004 N 96н.
<22> Раздел I Порядка заполнения налоговой декларации, утв. Приказом Минфина России от 17.01.2006 N 8н.
<23> Порядок заполнения форм, утв. Приказом МНС России от 27.07.2004 N САЭ-3-05/443.
<24> Письмо Минфина России от 28.02.2005 N 03-05-02-04/40.
<25> Утвержден Приказом Минфина России от 17.03.2005 N 40н.
<26> Утверждены Приказом МНС России от 27.07.2004 N САЭ-3-05/443.
<27> Пункт 2 Рекомендаций по заполнению Расчета, утв. Приказом Минфина России от 17.03.2005 N 40н.
<28> Утверждена Приказом Минфина России от 31.01.2006 N 19н.
<29> Порядок заполнения налоговой декларации, утв. Приказом Минфина России от 31.01.2006 N 19н.
<30> Утверждена Постановлением ФСС РФ от 22.12.2004 N 111.
<31> Утверждена Постановлением ФСС РФ от 25.04.2003 N 46.
<32> Утверждена Постановлением ФСС РФ от 10.02.2006 N 9.
<33> Письмо ФСС РФ от 06.04.2006 N 02-18/05-3253.
<34> Утверждена Приказом ФНС России от 25.11.2005 N САЭ-3-04/616@.
<35> Утверждена Приказом Минфина России от 23.12.2005 N 153н.
<36> Пункт 4 ст.

225 НК РФ; Порядок заполнения Налоговой карточки, утв. Приказом МНС России от 31.10.2003 N БГ-3-04/583; разд. I Рекомендаций, утв. Приказом ФНС России от 25.11.2005 N САЭ-3-04/616@; п. 2 разд. I Порядка, утв. Приказом Минфина России от 23.12.2005 N 153н.
<37> Утвержден Приказом Минфина России от 19.05.2005 N 66н.
<38> Утверждена Приказом Минфина России от 23.09.2005 N 124н.
<39> Подпункты 18, 22 п. 13 Рекомендаций, утв. Приказом Минфина России от 19.05.2005 N 66н.
<40> Подпункты 18, 22 п. 13 Рекомендаций, утв. Приказом Минфина России от 19.05.2005 N 66н; пп. 20, 24 п. 13 Порядка, утв. Приказом Минфина России от 23.09.2005 N 124н.
<41> Пункт 3 ст. 362 НК РФ.
<42> Пункт 1 ст. 122 НК РФ.
<43> Статья 15.11 КоАП РФ; ст. 5 Федерального закона от 19.06.2000 N 82-ФЗ «О минимальном размере оплаты труда».

Н.А.Сидорова

Юрист

В школе нас научили округлению и с тех пор мы считаем изученный алгоритм единственно правильным и возможным. Алгоритм этот простой. При округлении числа до заданного разряда действия таковы:

  1. Смотрим на следующий за ним разряд
  2. Если он равен или больше 5 — увеличиваем заданный разряд на единицу
  3. Отсекаем все цифры, следующий за заданным разрядом. Пример:

Число 10,192837465 округляем до разряда одной миллиардной (до цифры «6»). Получаем 10,19283757. Число 10,19283757 округляем до одной стомиллионной (до цифры «5»). Получаем 10,1928376. Число 10,19283757 округляем до одной десятимиллионной (до цифры «5»). Получаем 10,1928376. Число 10,1928376 округляем до одной миллионной (до цифры «7»). Получаем 10,192838. Число 10,192838 округляем до одной стотысячной (до цифры «3»). Получаем 10,19283. Число 10,19283 округляем до одной десятитысячной (до цифры «8»). Получаем 10,1928. Число 10,1928 округляем до одной тысячной (до цифры «2»). Получаем 10,193. Число 10,193 округляем до одной сотой (до цифры «9»). Получаем 10,19. Число 10,19 округляем до одной десятой (до цифры «1»). Получаем 10,2. Число 10,2 округляем до целой части, получаем 10.

Но в реальности возникает проблема с числами, у которых следующий за округляемым разряд равен 5ти. Следуя математическому алгоритму округления, в таких случаях мы всегда будем увеличивать округляемый разряд на единицу. Т.е. 10,5 станет 11, а 100,5 — 101.

Проблема заключается в том, что цифр, при которых мы округляем в меньшую сторону — 4 (1,2,3,4), а цифр, при которых в большую — 5(5,6,7,8,9). Таким образом нарушается паритет и на больших объемах данных этот перекос может сильно влиять на результат.

Педантичные работники банков (не зря ведь метод назван в честь их сферы работы?) нашли выход из ситуации: эта самая 5ка теперь так же округляется и в большую и в меньшую сторону.

Округление

А зависит округляемого разряда. И зависимость эта основана на четности: если разряд четный — увеличиваем округляемый разряд на единицу.

Теперь тот же пример с числом 10,192837465 для банковского округления сравним с обычным(математическим):

Число Мат.округление Банковское округление 10,5 11 11 11,5 12 11 54,1259 54,126 54,125 123,4158 123,416 123,415 43,88957 43,8896 43,8895 12,345 12,34 12,34

Вроде бы незначительное изменение существенно изменяет вычисляемые суммы при большом количестве данных. При равномерном распределении вероятность накопления ошибки из-за округлений существенно снижается.

Другие статьи по теме «JavaScript»:

Запрос «Символы Айверсона» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья (англ.).

Округление — замена числа на его приближённое значение (с определённой точностью), записанное с меньшим количеством значащих цифр. Модуль разности между заменяемым и заменяющим числом называется ошибкой округления.

Округление применяется для представления значений и результатов вычислений с тем количеством знаков, которое соответствует реальной точности измерений или вычислений, либо той точности, которая требуется в конкретном приложении. Округление в ручных расчётах также может использоваться для упрощения вычислений в тех случаях, когда погрешность, вносимая за счёт ошибки округления, не выходит за границы допустимой погрешности расчёта.

Общий порядок округления и терминология

  • Округление числа, записанного в позиционной системе счисления с M знаками дробной части, может производиться «до K-го знака после запятой», где K ≤ M. При таком округлении в записи числа отбрасываются справа (M-K) значащих цифр, а K-я цифра после запятой может измениться (см. #Методы). Применяется также терминология с указанием единицы наименьшей десятичной доли, сохраняющейся у округлённого числа, то есть «округление до десятых», «…до сотых», «…до тысячных» и т. д. (соответствует округлению до одного, двух, трёх и так далее знаков после запятой). Частный случай, когда K=0, называется «округлением до целого».
  • Когда при округлении отбрасываются значащие цифры целой части числа, говорят об «округлении до десятков» (сотен, тысяч и так далее), отбрасывая, соответственно, один, два, три и более знака. При таком округлении отбрасываемые цифры целой части числа заменяются на нули.
  • Для чисел, представленных в нормализованном виде, говорят об «округлении до K (значащих) цифр». При этом мантисса числа сохраняет K значащих цифр, остальные цифры справа отбрасываются.

Методы

В разных сферах могут применяться различные методы округления. Во всех этих методах «лишние» знаки обнуляют (отбрасывают), а предшествующий им знак корректируется по какому-либо правилу.

  • Округление к ближайшему целому (англ. rounding) — наиболее часто используемое округление, при котором число округляется до целого, модуль разности с которым у этого числа минимален. В общем случае, когда число в десятичной системе округляют до N-го знака, правило может быть сформулировано следующим образом:
    • если N+1 знак < 5, то N-й знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;
    • если N+1 знак ≥ 5, то N-й знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют;

    Например: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3. Максимальная дополнительная абсолютная погрешность, вносимая при таком округлении (погрешность округления), составляет ±0,5 последнего сохраняемого разряда.

  • Округление к меньшему по модулю (округление к нулю, целое англ. fix, truncate, integer) — самое «простое» округление, поскольку после обнуления «лишних» знаков предшествующий знак сохраняют, то есть технически оно состоит в отбрасывании лишних знаков. Например, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1). При таком округлении может вноситься погрешность в пределах единицы последнего сохраняемого разряда, причём в положительной части числовой оси погрешность всегда отрицательна, а в отрицательной — положительна.
  • Округление к большему (округление к +∞, округление вверх, англ. ceiling — досл. «потолок») — если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу, если число положительное, или сохраняют, если число отрицательное. В экономическом жаргоне — округление в пользу продавца, кредитора (лица, получающего деньги). В частности, 2,6 → 3, −2,6 → −2. Погрешность округления — в пределах +1 последнего сохраняемого разряда.
  • Округление к меньшему (округление к −∞, округление вниз, англ. floor — досл. «пол») — если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак сохраняют, если число положительное, или увеличивают на единицу, если число отрицательное. В экономическом жаргоне — округление в пользу покупателя, дебитора (лица, отдающего деньги). Здесь 2,6 → 2, −2,6 → −3. Погрешность округления — в пределах −1 последнего сохраняемого разряда.
  • Округление к большему по модулю (округление к бесконечности, округление от нуля) — относительно редко используемая форма округления. Если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу. Погрешность округления составляет +1 последнего разряда для положительных и −1 последнего разряда для отрицательных чисел.

Варианты округления 0,5 к ближайшему целому

Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:

  • Математическое округление — округление всегда в бо́льшую по модулю сторону (предыдущий разряд всегда увеличивается на единицу).
  • Банковское округление (англ. banker’s rounding) — округление для этого случая происходит к ближайшему чётному, то есть 2,5 → 2; 3,5 → 4.
  • Случайное округление — округление происходит в меньшую или большую сторону в случайном порядке, но с равной вероятностью (может использоваться в статистике). Также часто используется округление с неравными вероятностями (вероятность округления вверх равна дробной части), этот способ делает накопление ошибок случайной величиной с нулевым математическим ожиданием.
  • Чередующееся округление — округление происходит в меньшую или большую сторону поочерёдно.

Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений, которые далее будут обрабатываться совместно, может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм, выражаемых в рублях и копейках. В реестре из 10 000 строк (если считать копеечную часть каждой суммы случайным числом с равномерным распределением, что обычно вполне допустимо) окажется в среднем около 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50. При округлении всех таких строк по правилам математического округления «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.

Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина из них окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.

Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.

  • Округление в случайную сторону требует для каждой округляемой строки генерировать случайное число. При использовании псевдослучайных чисел, создаваемых линейным рекуррентным методом, для генерации каждого числа требуется операция умножения, сложения и деления по модулю, что для больших объёмов данных может существенно замедлить расчёты.
  • Чередующееся округление требует хранить флаг, показывающий, в какую сторону последний раз округлялось специальное значение, и при каждой операции переключать значение этого флага.

Обозначения

Операция округления числа x к большему (вверх) обозначается следующим образом: ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } . Аналогично, округление к меньшему (вниз) обозначается ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } . Эти символы (а также английские названия для этих операций — соответственно, ceiling и floor, досл. «потолок» и «пол») были введены К. Айверсоном в его работе A Programming Language, описавшей систему математических обозначений, позже развившуюся в язык программирования APL. Айверсоновские обозначения операций округления были популяризированы Д. Кнутом в его книге «Искусство программирования».

По аналогии, округление к ближайшему целому часто обозначают как {\displaystyle \left} . В некоторых прежних и современных (вплоть до конца XX века) работах так обозначалось округление к меньшему; такое использование этого обозначения восходит ещё к работе Гаусса 1808 года (третье его доказательство квадратичного закона взаимности). Кроме того, это же обозначение используется (с другим значением) в нотации Айверсона.

В стандарте Юникод зафиксированы следующие символы:

Название
в Юникоде
Код в Юникоде Вид Мнемоника
в HTML 4
Примечания
16-ричный десятичный
LEFT CEILING (тж. APL upstile) 2308 8968 &lceil; не путать с:

  • U+2E22 ⸢ — Top left half bracket
  • U+300C 「 — Left corner bracket
RIGHT CEILING 2309 8969 &rceil; не путать с:

  • U+20E7 ◌⃧ — Combining annuity symbol
  • U+2E23 ⸣ — Top right half bracket
LEFT FLOOR (тж. APL downstile) 230A 8970 &lfloor; не путать с:

  • U+2E24 ⸤ — Bottom left half bracket
RIGHT FLOOR 230B 8971 &rfloor; не путать с:

  • U+2E25 ⸥ — Bottom right half bracket
  • U+300D 」 — Right corner bracket

Применения

Округление используется для того, чтобы работать с числами в пределах того количества знаков, которое соответствует реальной точности параметров вычислений (если эти значения представляют собой измеренные тем или иным образом реальные величины), реально достижимой точности вычислений либо желаемой точности результата. В прошлом округление промежуточных значений и результата имело прикладное значение (так как при расчётах на бумаге или с помощью примитивных устройств типа абака учёт лишних десятичных знаков может серьёзно увеличить объём работы). Сейчас оно остаётся элементом научной и инженерной культуры. В бухгалтерских приложениях, кроме того, использование округлений, в том числе промежуточных, может требоваться для защиты от вычислительных ошибок, связанных с конечной разрядностью вычислительных устройств.

Более того, некоторые исследования используют округления возраста для измерения числовой грамотности. Это связано с фактом, что менее образованные люди склонны округлять свой возраст вместо того, что бы указывать точный. Например, в официальных записях населения с более низким уровнем человеческого капитала чаще встречается возраст 30, чем 31 или 29.

Использование округлений при работе с числами ограниченной точности

Реальные физические величины всегда измеряются с некоторой конечной точностью, которая зависит от приборов и методов измерения и оценивается максимальным относительным или абсолютным отклонением неизвестного истинного значения от измеренного, что в десятичном представлении значения соответствует либо определённому числу значащих цифр, либо определённой позиции в записи числа, все цифры после (правее) которой являются незначащими (лежат в пределах ошибки измерения). Сами измеренные параметры записываются с таким числом знаков, чтобы все цифры были надёжными, возможно, последняя — сомнительной. Погрешность при математических операциях с числами ограниченной точности сохраняется и изменяется по известным математическим законам, поэтому когда в дальнейших вычислениях возникают промежуточные значения и результаты с больши́м числом цифр, из этих цифр только часть являются значимыми. Остальные цифры, присутствуя в значениях, фактически не отражают никакой физической реальности и лишь отнимают время на вычисления. Вследствие этого промежуточные значения и результаты при вычислениях с ограниченной точностью округляют до того количества знаков, которое отражает реальную точность полученных значений. На практике обычно рекомендуется при длинных «цепочных» ручных вычислениях сохранять в промежуточных значениях на одну цифру больше. При использовании компьютера промежуточные округления в научно-технических приложениях чаще всего теряют смысл, и округляется только результат.

Так, например, если задана сила 5815 гс с точностью до грамма силы и длина плеча 1,4 м с точностью до сантиметра, то момент силы в кгс по формуле M = ( m g ) ⋅ h {\displaystyle M=(mg)\cdot h} , в случае формального расчёта со всеми знаками, окажется равным: 5,815 кгс • 1,4 м = 8,141 кгс•м. Однако если учесть погрешность измерения, то мы получим, что предельная относительная погрешность первого значения составляет 1/5815 ≈ 1,7•10−4, второго — 1/140 ≈ 7,1•10−3, относительная погрешность результата по правилу погрешности операции умножения (при умножении приближённых величин относительные погрешности складываются) составит 7,3•10−3, что соответствует максимальной абсолютной погрешности результата ±0,059 кгс•м! То есть в реальности, с учётом погрешности, результат может составлять от 8,082 до 8,200 кгс•м, таким образом, в рассчитанном значении 8,141 кгс•м полностью надёжной является только первая цифра, даже вторая — уже сомнительна! Корректным будет округление результата вычислений до первой сомнительной цифры, то есть до десятых: 8,1 кгс•м, или, при необходимости более точного указания рамок погрешности, представить его в виде, округлённом до одного-двух знаков после запятой с указанием погрешности: 8,14 ± 0,06 кгс•м.

Эмпирические правила арифметики с округлениями

В тех случаях, когда нет необходимости в точном учёте вычислительных погрешностей, а требуется лишь приблизительно оценить количество точных цифр в результате расчёта по формуле, можно пользоваться набором простых правил округлённых вычислений:

  1. Все исходные значения округляются до реальной точности измерений и записываются с соответствующим числом значащих цифр, так, чтобы в десятичной записи все цифры были надёжными (допускается, чтобы последняя цифра была сомнительной). При необходимости значения записываются со значащими правыми нулями, чтобы в записи указывалось реальное число надёжных знаков (например, если длина в 1 м реально измерена с точностью до сантиметров, записывается «1,00 м», чтобы было видно, что в записи надёжны два знака после запятой), или точность явно указывается (например, 2500±5 м — здесь надёжными являются только десятки, до них и следует округлять).
  2. Промежуточные значения округляются с одной «запасной» цифрой.
  3. При сложении и вычитании результат округляется до последнего десятичного знака наименее точного из параметров (например, при вычислении значения 1,00 м + 1,5 м + 0,075 м результат округляется до десятых метра, то есть до 2,6 м). При этом рекомендуется выполнять вычисления в таком порядке, чтобы избегать вычитания близких по величине чисел и производить действия над числами по возможности в порядке возрастания их модулей.
  4. При умножении и делении результат округляется до наименьшего числа значащих цифр, которое имеют множители или делимое и делитель. Например, если тело при равномерном движении прошло дистанцию 2,5⋅103 метров за 635 секунд, то при вычислении скорости результат должен быть округлён до 3,9 м/с, поскольку одно из чисел (расстояние) известно лишь с точностью до двух значащих цифр. Важное замечание: если один операндов при умножении или делитель при делении является по смыслу целым числом (то есть не результатом измерений непрерывной физической величины с точностью до целых единиц, а, например, количеством или просто целой константой), то количество значащих цифр в нём на точность результата операции не влияет, и оставляемое число цифр определяется только вторым операндом. Например, кинетическая энергия тела массой 0,325 кг, движущегося со скоростью 5,2 м/с, равна E k = m v 2 2 = 0.325 ⋅ 5.2 2 2 = 4.394 ≈ 4.4 {\displaystyle E_{k}={\tfrac {mv^{2}}{2}}={\tfrac {0.325\cdot 5.2^{2}}{2}}=4.394\approx 4.4} Дж — округляется до двух знаков (по количеству значащих цифр в значении скорости), а не до одного (делитель 2 в формуле), так как значение 2 по смыслу — целая константа формулы, она является абсолютно точной и не влияет на точность вычислений (формально такой операнд можно считать «измеренным с бесконечным числом значащих цифр»).
  5. При вычислении значения функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} требуется оценить значение модуля производной этой функции в окрестности точки вычисления. Если | f ′ ( x ) | ⩽ 1 {\displaystyle \left|f’\left(x\right)\right|\leqslant 1} , то результат функции точен до того же десятичного разряда, что и аргумент. В противном случае результат содержит меньше точных десятичных разрядов на величину log 10 ⁡ ( | f ′ ( x ) | ) {\displaystyle \log _{10}\left(\left|f’\left(x\right)\right|\right)} , округлённую до целого в большую сторону.

Несмотря на нестрогость, приведённые правила достаточно хорошо работают на практике, в частности, из-за достаточно высокой вероятности взаимопогашения ошибок, которая при точном учёте погрешностей обычно не учитывается.

Зарплата, отпускные и пособия — в рублях и копейках

Все, что вы начисляете работникам, следует округлять до целой копейки на том основании, что в России принята денежная система единиц в рублях и копейках. То есть округлять до полных рублей зарплату, отпускные или пособие не нужно.

Но есть один нюанс. Расчет тех же отпускных представляет собой длинную цепочку вычислений. И возникает вопрос: нужно ли округлять каждый промежуточный результат? Скажем, среднедневной заработок.

Однозначного ответа на этот вопрос законодательство не содержит. Конечно, лучше всего посчитать с точностью до копейки только итоговую сумму. И именно ее вписать в расчетно-платежную ведомость, записку-расчет отпускных или больничный лист Такой же алгоритм расчета пособий ФСС РФ предполагал в своем письме от 30 октября 2007 г. № 02-10/08-10635.

Однако сейчас в программе на сайте fss.ru в разделе «Калькулятор пособий» среднедневной заработок округляется до двух знаков после запятой. И само собой, в больничном листе сумму дневного заработка в любом случае нужно отразить с точностью до двух знаков.

Кроме того, правила округления при расчетах уже могут быть заложены в той программе, которую используете лично вы. И если в ней, например, предусмотрено округление того же среднедневного заработка до двух знаков после запятой, вы можете так это и оставить. Никакой ошибки в этом нет.

Пример
Какая разница в сумме больничных может возникнуть из-за округлений

Сотрудник ООО «Пионер» Свиридов И. С. болел с 19 по 25 сентября 2015 года включительно (всего семь календарных дней). Общий страховой стаж Свиридова — семь лет.

Семь лет меньше восьми, Свиридову полагается пособие в размере 80 процентов среднего заработка. Посчитаем его величину.

Расчетный период — 2013—2014 годы.

В 2013 году сотрудник заработал 276 000 руб., что меньше лимита. На 2014 год приходится 366 818,18 руб., что также меньше лимита.

Общий его заработок, с которого были уплачены взносы в ФСС РФ, составил 642 818,18 руб.

Вариант 1. Округляем на каждом этапе

Среднедневной заработок работника бухгалтер рассчитал так:

642 818,18 руб. : 730 дн. = 880,57 руб.

Отсюда сумма дневного пособия будет равна:

880,57 руб. × 80% = 704,46 руб.

А в итоге работнику нужно начислить:

704,46 × 7 дн. = 4931,22 руб.

Вариант 2. Округляем только на последнем этапе

Бухгалтер рассчитал сумму пособия так:

642 818,18 руб. : 730 дн. × 80% × 7 дн. = 4931,21 руб.

Как видите, разница в размере больничных в данном примере составила всего 1 копейку.

Дни неиспользованного отпуска округляйте до двух знаков после запятой

Количество неиспользованных дней отпуска, за которые положена компенсация, определяют по следующей формуле:

За каждый полный отработанный месяц работнику полагается 2,33333… дня (28 дн. : 12 мес.). Если, конечно, отпуск в вашей компании составляет стандартные 28 календарных дней. Какие правила округления использовать? Официальных правил и тут нет. Поэтому обычно подсчитанную итоговую величину берут с двумя знаками после запятой. Хотя чем больше знаков после запятой, тем точнее.

Если же руководство компании решит округлить количество дней до целых единиц, то делать это нужно не по правилам арифметики, а в большую сторону. Ведь организации не имеют права ухудшать положение работников. То есть выплатить компенсацию, скажем, не за 9,33 дня, а за 9 дней нельзя. Если уж округлять, то до 10 дней (письмо Минздравсоцразвития России от 7 декабря 2005 г. № 4334-17).

При этом округлять надо итоговый показатель. Предположим, сотрудник отработал три месяца. Значит, ему полагается ровно 7 дней отпуска (28 дн. : 12 мес. × 3 мес.). А вовсе не 6,99 дн., которые получатся, если мы просто возьмем 2,33 дн. и умножим этот показатель на 3.

Коэффициент индексации зарплаты

При повышении в организации окладов любой средний заработок (за исключением пособий) нужно рассчитывать с учетом коэффициента пересчета. Это обязательно, только если повышение коснулось всех сотрудников организации (филиала или структурного подразделения). Пересчитывать нужно только те выплаты, которые начислены до повышения.

При этом коэффициент индексации вы можете округлять как до второго знака, так и до третьего, четвертого и т. д. Либо даже не округлять вообще.

В нашем «Безошибочном расчетчике зарплат» (находится по адресу rz.glavbukh.ru) мы округляем до четырех знаков. Ведь чем больше знаков после запятой, тем точнее. А округление только до второго знака может привести к искажениям в несколько десятков рублей.

Приведем простой пример. Зарплата работника выросла с 16 000 руб. до 23 000 руб. Если округлять коэффициент до двух знаков, то получится 1,44. Умножаем этот показатель на 16 000 руб., получаем 23 040 руб., что больше нынешнего оклада на 40 руб.

Если же использовать правила округления до четырех знаков, выйдет 1,4375. Умножаем на 16 000 руб., выходит ровно 23 000 руб.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *